Základné zobrazovacie metódy VII. - Kosouhlé premietanieKosouhlé premietanie základné pojmy: kosouhlý priemet priamky kolmej na priemetňu ν: Nech je daná rovina ν a na ňu kolmá úsečka OY. Bodu Y priraďme Y′ ako jeho kosouhlý priemet do roviny ν pre zvolený smer premietania sY. Je zrejmé, že potom každému bodu A dá sa priradiť bod A′ ako jeho kosouhlý priemet do roviny ν pre daný smer premietania sY týmto dohovorom: 1. A ∈ sA ∥ sY; 2. A₂ ∈ s₂A ∥ s₂Y /kde A₂ je kolmý priemet bodu A do roviny ν/; 3. sA · s₂Y = A′. Poznámka: Pretože v kosouhlom premietaní jedna z priemetní spravidla je vždy nákresňou, nebudeme v ďalšom texte robiť rozdiel medzi kosouhlým priemetom a kosouhlým obrazom zobrazovaných geometrických útvarov.Kosouhlý priemet priamky kolmej na nárysňu: Nech rovina ν je nárysňa a nech je súčasne aj nákresňou, potom kosouhlé premietanie do tejto priemetne bude jednoznačne určené, ak jednoznačne v priestore určíme polohu trojuholníka △ YY₂Y′. To uskutočníme takto: 1. Pravouhlý súradnicový systém x, y, z umiestime v priestore tak, aby súradnicové osi x, z boli priamkami roviny a jeho začiatok O bol v zvolenom bode roviny ν. 2. Priamku y′, ktorá je kosouhlým priemetom súradnicovej osi y ⊥ ν určíme uhlom ω = ∠ xy′. 3. Veľkosť kosouhlého priemetu každej zvolenej úsečky kolmej na rovinu ν určíme z podobnosti príslušných trojuholníkov, ak zadáme aspoň jeden z nich. V našom prípade je to △ Y′Y₂Y, ktorý sa v praxi nahradzuje △ Y′Y₂Y₁, pričom jeho ∠ Y₂ = |ω − 90°|.+32Kosouhlý priemet bodu a určenie kosouhlého premietania: Na tomto obrázku názorne vidieť celú problematiku kosouhlého premietania bodu a súčasne aj spôsob určenia príslušného kosouhlého premietania. V našom prípade ω = 135° a q = 1 : √2, ktoré sa v praxi nazýva technické kosouhlé premietanie.Určenie kosouhlého premietania: V strede obrázka sú osobitne vynesené prvky ω = 135°, q = 1:2, nimi je dané kosouhlé premietanie, v ktorom sme zobrazili prvú kocku; ide tu o tzv. nadhľad sprava. Pre druhý obrázok platí ω = 45°, q = 1:2; ide tu o tzv. nadhľad zľava. Pre tretí obrázok platí ω = 235°, q = 1:2; ide tu o podhľad sprava. Pre štvrtý obrázok platí ω = 315°, q = 1:2; ide tu o podhľad zľava. Vo všetkých prípadoch uhol ω vynášame vo smere pohybu hodinových ručičiek od kladenej polosi x.Kosouhlý priemet priamky: Na obrázku sa dajú vysvetliť základné pojmy kosouhlého premietania súvisiace s kosouhlým priemetom priamky, resp. úsečky. V našom prípade priamka a je určená bodmi A, B.Kosouhlý priemet roviny: priamka v rovine: Základné pojmy aj príslušné konštrukcie názorne vidieť na obrázku.Hlavná priamka roviny: priesečnica dvoch rovín: Na prvom obrázku názorne vidieť hlavnú priamku roviny rovnobežnú s nárysňou, ako priesečnicu roviny rovnobežnej s nárysňou a danou rovinou. Na druhom obrázku názorne vidíme priesečnicu daných rovín, ako aj jej konštrukciu.Priesečník priamky s rovinou a kolmica na rovinu: Priesečník priamky s rovinou je uskutočnený pomocou pôdorysno premietacej roviny s danou rovinou. Tu vo všeobecnosti odpadá problematika tzv. krycej priamky, ktorá bola účelná v Mongeho projekcii. Kolmicu na danú rovinu zostrojujeme tak, že v kolmom premietaní zostrojíme jej dva určujúce body /v našom prípade je to päta kolmice a druhý stopník kolmice/ a potom kosouhlým priemetom kolmice na danú rovinu je priamka určená kosouhlými priemetmi týchto určujúcich bodov.Obrazec vo všeobecnej rovine: V danej rovine sme zostrojili kosouhlý priemet štvorca, ak bol daný jeho stred a požiadavka, že jeden jeho vrchol je na pôdorysnej stope roviny. Riešenie sa vykoná podľa nárysu a vidieť ho na obrázku.Pravidelný štvorboký ihlan s podstavou vo všeobecnej rovine: Predchádzajúci obrázok doplníme o kolmicu zostrojenú stredom zobrazovaného štvorca na jeho rovinu. Ak nanesieme na ňu príslušnú výšku /čo vidieť na obrázku/, dostaneme priemet pravidelného štvorbokého ihlana. Osobitne si všimnite spôsob, akým zostrojujeme výšku zobrazovaného ihlana.Kružnica vo všeobecnej rovine: Aj kružnicu v rovine v kosouhlom premietaní zostrojujeme v podstate pomocou jej druhého priemetu a z toho vyplývajúcich vzťahov. Konštrukciu sme robili racionálne tak, že sme zostrojili priamo osi elipsy, ktorá je kosouhlým obrazom danej kružnice.Rotačný kužeľ s podstavou vo všeobecnej rovine: Doplnením príslušného obrázka o výšku zostrojenú stredom zobrazovanej kružnice na jej rovinu možno zostrojiť kosouhlý priemet rotačného kužeľa s podstavou vo všeobecnej rovine. Na tomto obrázku, ako aj na podobných ďalších obrázkoch osobitne nevyznačujeme konštrukciu spoločných dotykových bodov obrysových čiar.Kosouhlý priemet pravého uhla a úsečky roviny: Poznáme, že v kosouhlom premietaní všeobecne priemet pravého uhla, ktorého jedno rameno je rovnobežné s priemetňou, nie je pravý uhol, avšak každým bodom všeobecnej roviny /t.j. takej, ktorá nemá osobitnú polohu vzhľadom na priemetňu/ dá sa zostrojiť dvojica na seba kolmých priamok, ktorých kosouhlé priemety sú tak isto na seba kolmé. To je zrejmé z prvého obrázka a túto vlastnosť sme použili priamo na zostrojenie osí elipsy k′ v obr. 11. Druhý obrázok ukazuje platnosť ďalšej dôležitej vety: “V každej všeobecnej rovine existujú dve osnovy rovnobežiek, na ktorých ležiace úsečky sa kosouhle premietajú v skutočnej veľkosti.“ Dôkaz tejto vety vyplýva z vlastností strán rovnobežníka a z vlastností úsečiek vyťatých priamkou rovnobežnou so základňou na ramenách rovnoramenného trojuholníka.Pravidelný osemsten: Zobrazenie pravidelného osemstena vyžaduje riešiť tieto dve čiastkové úlohy: 1. Zobraziť osový rez ABCD, ktorým je štvorec, nachádzajúci sa v našom prípade v pôdorysni. Pri zobrazovaní výhodne použijeme osovú afinitu. 2. Zostrojiť bodom S kolmicu na rovinu osového rezu a naniesť úsečky S′₁F′ = S′₁E′, ktorej aj skutočná veľkosť je u/2 = SA = SB = SC = SD.Pravidelný štvorsten: Zobrazenie pravidelného štvorstena ABCV robí sa podobne ako v obr. 15, pričom treba zistiť skutočnú veľkosť telesovej výšky pre zvolenú veľkosť hrany a. Poznámka: ABC je podstava štvorstena ležiaca v pôdorysni.Zobrazenie vodidla: Na obrázku je zobrazené vodidlo v technickom kosouhlom premietaní /q = 1/√2, ω = 135°/.Kružnica v pôdorysni: Kružnica k′₁ je kosouhlým priemetom kružnice k₁ ležiacej v pôdorysni. Sú to navzájom afinne združené krivky, kde: a/ os afinity je základnica x; b/ pár afinne združených bodov je daný bodmi S₁, S′₁; c/ smer tejto osobnej afinity určuje priamka S₁S′₁. Poznámka: 1. Kosouhlé premietanie je dané △ S′₁OS₁. 2. Afinne združená krivka k₁′ /elipsa/ ku kružnici k₁ je konštruovaná priamo, t.j. priamym určením jej osí pomocou Talesovej kružnice.Obrazy kružníc ležiacich v základných rovinách: Na zobrazenie kružnice ležiacej v pôdorysni alebo nárysni vždy použijeme osovú afinitu, v ktorej východiskovou krivkou je príslušná kružnica ležiaca v nárysni. Príslušné elipsy konštruujeme buď zo združených priemetov alebo priamo z osí.Použitie v praxi - kružnica v bokorysni: Na obrázku je zostrojenie obrazu upnutej valcovej ocele v točovke.Obrazy kružníc ležiacich v rovinách rovnobežných s pôdorysňou: Kružnice ležiace v navzájom rovnobežných rovinách majú za obrazy navzájom podobné elipsy. V našom prípade sme postupovali tak, že sme konštruovali podobné trojuholníky určené priamo osami príslušných elíps, ktoré sú obrazmi kružníc.Použitie v praxi: Postup zobrazenia vidieť priamo z obrázka. Teleso sme umiestili v obraze tak, aby sa nám kružnice premietali v skutočnej veľkosti, a to ako kružnice. Kvôli jednoduchosti sme pre kosouhlé premietanie zvolili q = 1 a uhol ω tak, aby sme mali vyhovujúci obraz.Použitie v praxi: Zobrazenie je zrejmé z obrázka.Zobrazenie pravidelného šesťbokého ihlana s podstavou v pôdorysni: Na obrázku sme zobrazili pravidelný šesťboký ihlan ABCDEFV s podstavou v pôdorysni. Zobrazenie telesa vyžaduje vykonať tieto základné úlohy: 1. Zostrojiť priemet podstavy pravidelného šesťuholníka. To urobíme pomocou osovej afinity, a to známym spôsobom. 2. Naniesť výšku. 3. Vyznačiť obraz celého telesa z hľadiska viditeľnosti. Poznámka: Odteraz bez újmy na všeobecnosti a zrozumiteľnosti na označenie kosouhlých priemetov bodov, priamok a rovín nebudeme používať čiarky.Zobrazenie pravidelného šesťbokého hranola v pôdorysni: Obraz pravidelného šesťbokého hranola ABCDĀB̄C̄D̄ sme uskutočnili postupom, ktorý sme vyznačili v predchádzajúcom obrázku /ako pri ihlane/.Použitie v praxi - pätka: Tento obrázok je aplikáciou predchádzajúceho, na zobrazenie konkrétneho telesa.Zobrazenie rotačného kužeľa s podstavou v pôdorysni: Obraz rotačného kužeľa sa robí v podstate takým istým spôsobom ako zobrazenie pravidelných ihlanov, o ktorom sme podrobnejšie hovorili skôr. Rozdiel je iba v tom, že podstava je kružnica a nie pravidelný n-uholník. To však na veci nič nemení. Kružnicu v pôdorysni sme sa naučili zobrazovať už priamo tak, že v osovej afinite nájdeme pomocou Talesovej vety taký pár kolmých priemetov, ktorému sa v príslušnej osovej afinite priraduje opäť pár kolmých priemetov v afinne združenej elipse, t.j. priamo osi.Zobrazenie rotačného valca s podstavou v pôdorysni: Pre zobrazenie rotačného valca s podstavou v pôdorysni platí to, čo sme povedali v predchádzajúcom obrázku.Rovinný rez pravidelného šesťbokého hranola /aplikácia osovej afinity/: Týmto obrázkom začína vlastne aplikácia osovej afinity na konštrukciu rovinných rezov na hranoloch a valcoch. Zobrazenie týchto rezov vyžaduje: 1. Vedieť zostrojiť obraz príslušného hranola alebo valca. 2. Vedieť zostrojiť obraz rezovej roviny. 3. Určiť osovú afinitu, ktorá priraduje uholníku /kružnici/ podstavy príslušný rezový uholník, ležiaci v rezovej rovine. V našom prípade osová afinita je určená: a/ osou afinity, ktorou je p′σ /kosouhlý priemet pôdorysnej stopy roviny σ/; b/ smer afinity je daný hranami hranola; c/ pár afinne združených bodov sme určili pomocou priesečnice roviny σ preloženej vrcholmi C, E a príslušnými hranami hranola; sú to napr. body E → Eˣ, C → Cˣ. 4. Zostrojiť rez.Rovinný rez kosého šesťbokého hranola: Tu ide o všeobecnejšiu aplikáciu predchádzajúceho obrázka. Upozorňujeme iba na osobitnosť získania páru afinne združených bodov, a to pôdorysno premietacej roviny a určenej vrcholom A a pôdorysno premietacou priamkou vrchola hornej podstavy Ā! Ostatné sa dá pochopiť z obrázka.Rovinný rez rotačného valca: Pre zobrazovanie tejto úlohy platí to, čo sme povedali o obrázku 28. Na zjednodušenie úlohy sme rezovú rovinu zvolili tak, aby sa jej pôdorysná stopa dotýkala podstavy v bode C a jej hlavná priamka prvej osnovy sa dotýkala hornej podstavy v bode Dˣ.Rovinný rez pravidelného štvorbokého ihlana /kolineácia/: Zostrojenie rovinných rezov na ihlanoch a aj kužeľoch robíme buď postupným zostrojením priesečníkov jednotlivých pobočných hrán, prípadne priesečníc jednotlivých stien s rovinou rezu alebo i použitím stredovej kolineácie. Na obr. sme použili stredovú kolineáciu, ktorej a/ osou je priesečnica roviny podstavy s rovinou rezu, b/ stredom je vrchol ihlana, c/ pár kolineárne združených bodov tvoria body S a Sˣ, pričom SSˣ = SˣV a bod Sˣ je určujúcim bodom roviny rezu danej stopou a práve týmto bodom. To však nemá vplyv na všeobecnosť riešenia.Rovinný rez rotačného kužeľa /stredová kolineácia/: Riešenie tejto úlohy je analogické, ako v predchádzajúcom obrázku, len s tým rozdielom, že v stredovej kolineácii priradujeme podstavovej kružnici /v obraze elipse/ kolineárne združenú krivku, ktorá v našom prípade je elipsa. Ostatné prípady pre ich zložitosť v tomto diafilme neriešime, sú však analogické. Na obrázku je kužeľová špica na pravidelnom štvorbokom hranole. Rezové krivky príslušných stien hranola s kužeľovou plochou sú hyperboly.׋›Základní zobrazovací metody VII.VýrobceDBratislavaRok1967Délka36 okénekAutor textuMalina ŠtefanPředlohaFYZKOznačení2359Další diafilmy výrobceProstředky individuální protichemické ochrany dětí a jejich použití II.dílPovstalecká armáda a činnost strany v armádě na Slovensku I. Komunistická strana Slovenska v boji proti fašismu a v SNPZákladní zobrazovací metody IV.Slovenské literární časopisy a almanachy I.
