Základné zobrazovacie metódy VI. - Voľné paralelné premietanieTechnický výkres vozidla: Hoci technický výkres vždy umožňuje odborne vzdelanému pracovníkovi vytvoriť si úplnú a správnu predstavu o zobrazenej súčiastke a nakoniec ju vyhotoviť, nepovie tento výkres takmer nič laikovi.Voľný paralelný obraz vozidla: Tento názorný obraz vozidla umožňuje aj laikovi, a to bez fotografie, vytvoriť si správnu predstavu o jeho tvare a rozmeroch.+36Voľný paralelný obraz puzdra: Aj toto puzdro si vie každý správne predstaviť už z jeho obrazu. Tento obraz bol vyhotovený metódou voľného paralelného premietania. Pod pojmom voľné paralelné premietanie budeme rozumieť kolmé, čiže ortogonálne premietanie na jednu priemetňu. Voľné paralelné premietanie je jednoznačne dané, ak je daná jediná elipsa, ktorá je voľným paralelným obrazom kružnice, ležiacej vo všeobecnej rovine. V našom prípade je to podstavná elipsa puzdra, ktorej hlavná os OB má veľkosť r.Vety o priemete bodu, priamky a roviny: Voľné paralelné premietanie spravuje sa určitými vetami, ktoré platia v kolmom premietaní. Pripomeňme si ich: Veta 1: O priemete bodu. Veta 2: O priemete priamky. Veta 3: O priemete roviny.Vety o priemete rovnobežiek, o priemete zhodných úsečiek na rovnobežných nositeľkách, o zachovaní podielového pomeru a o obrazci v rovinách rovnobežných s priemetňou: Veta 4: O priemete rovnobežiek. Veta 5: O priemete zhodných úsečiek na rovnobežných nositeľkách. Veta 6: O zachovaní podielového pomeru. Veta 7: O obrazci v rovinách rovnobežných s priemetňou.Veta o priemete pravého uhla: Veta 8: O priemete pravého uhla.Veta o priemete kružnice: Veta 9: O priemete kružnice.Veta o obrazoch kružníc ležiacich v navzájom rovnobežných rovinách: Veta 10: O obrazoch kružníc ležiacich v navzájom rovnobežných rovinách.Veta o priemete dĺžky nanesenej na kolmicu k rovine danej kružnice: Veta 11: O priemete dĺžky nanesenej na kolmicu k rovine danej kružnice.Veta o obrazoch kolmých priamok v rovine kružnice: Veta 12: O obrazoch kolmých priamok v rovine kružnice.Afinná príbuznosť medzi útvarmi v priestore: Pri zostrojovaní metódou voľného paralelného premietania obrazov nám /okrem viet 1-12/ urobia neoceniteľné služby príbuznosti medzi geometrickými útvarmi ako v priestore, tak aj v rovine; z ktorých prvá sa volá /perspektívna/ afinita a druhá /perspektívna/ kolineácia. Pre náš účel stačí, ak si ich odvodíme z priestorových vzťahov tak, ako sme to zobrazili na tomto obrázku. 1. A′, A″; B′, B″; C′, C″ sú afinne združené body; 2. A′A″ ∥ B′B″ ∥ C′C″ sú navzájom rovnobežné priamky; na nich ležia afinne združené body; patria do smeru, ktorý sa volá smer afinity; 3. A′B′, A″B″; A′C′, A″C″; B′C′, B″C″ sú afinne združené priamky; 4. A′B′ · A″B″ = /3′ = 3″/; A′C′ · A″C″ = /2′ = 3″/; B′C′ · B″C″ = /1′ = 1″/ pretínajú sa v samodružných bodoch ležiacich na tej istej priamke, ktorá sa volá os afinity; 5. A′B′C′ a A″B″C″ sa volajú afinne združené útvary.Afinná príbuznosť medzi útvarmi v rovine: Pretože rovnobežným premietaním sa zachováva incidencia a rovnobežnosť premietnutých útvarov, platí afinita aj v nákresni, t.j. v rovine. V našom prípade ide o afinitu A′₁B′₁C′₁ s A″₁B″₁C″₁ ležiacich v rovine ρ, ktorá je určená osou o₁, a párom afinne združených bodov A′₁A″₁, ktoré súčasne určujú smer afinity.Základné prvky, ktorými je afinita určená: Na určenie afinity nestačí udať os a smer. Treba ešte pár afinne združených bodov. Ak smer afinity je kolmý na os, tak potom ide o kolmú afinitu. Ak máme daný pár afinne združených priamok, je tým už afinita jednoznačne určená. Priesečníky afinne združených priamok určujú samodružné body, a týmito je určená os afinity. Priesečník daných priamok a priesečník k ním afinne združených priamok určuje pár afinne združených bodov a tým aj smer afinity. Teda afinita je už daná osou afinity a párom afinne združených bodov, t.j. aj smerom afinity.Afinný útvar k štvorcu a k pravidelnému šesťuholníku: Zostrojovanie afinne združených útvarov obyčajne nespôsobuje ťažkosti, ak neustále dbáme, aby sme v tejto afinite bodu priradovali bod, priamke priamku. Navzájom priradované body boli na navzájom rovnobežných priamkach patriacich do smeru afinity, navzájom priradované priamky sa pretínali v samodružných bodoch ležiacich na osi afinity. V prvom obrázku ide o kolmú afinitu štvorca, ktorá je daná osou o, párom afinne združených bodov AA′; v druhom obrázku ide o zadanie kolmej afinity pravidelného šesťuholníka, ktorá je daná osou o a párom afinne združených bodov SS′. Prvý obrázok nám môže pripomenúť vzťah medzi priemetom štvorca a jeho otočeným obrazom alebo rovinný rez na šikmom štvorbokom hranole so štvorcovou podstavou v priemetni.Kružnica a elipsa v afinite: Priestorove tu ide o rovinný rez kruhového valca. Podstavná krivka a rezová krivka sú v afinnom vzťahu /príbuznosti/. Afinita je tu daná osou o /priesečnicou roviny podstavy s rovinou rezu/ a párom afinne združených bodov S₀, S, ktorými je súčasne určený aj smer afinity /stred kruhovej podstavy a priesečník osi valca s rovinou rezu/ . Pomocou Talesovej kružnice danej bodmi S₀, S, ktorej stred sa musí nachádzať na osi afinity, sa dajú zostrojiť priamo osi rezovej elipsy. Touto konštrukciou v afinnom priradení kružnice a elipsy zostrojujeme priamo osi elipsy.Použitie afinity na zostrojenie dotyčníc k elipse - záverečná konštrukcia pri voľnom paralelnom priemete ihlana: Obrázok je už priamou aplikáciou metód voľného paralelného premietania a súčasne ukazuje jeho súvis s kolmým premietaním na jednu priemetňu. Voľné paralelné premietanie je dané elipsou e₁, ktorá je kolmým priemetom kružnice e₀. Kolmú afinitu medzi útvarmi e₁ a e₀ využijeme na zostrojenie obrazu obrysových dotyčníc rotačného kužeľa a ich dotykových bodov s elipsou e₁.Voľný paralelný obraz kocky: Teraz už môžeme celkom presne konštruovať aj obraz tak zložitého telesa, ako vidíme na obrázku. Voľné paralelné premietanie je tu dané elipsou e so stredom S, kde SB = r je skutočná veľkosť polomeru zobrazenej kružnice. Ostatné prvky sa dajú určiť a dané teleso zobraziť. Čelná časť má tvar kocky.Voľný paralelný obraz kolmého šesťbokého hranola: Pomerne jednoducho sa zostrojuje voľný paralelný obraz kolmého šesťbokého hranola. Pomer polomeru kružnice opísanej podstave a výškou je 1:3. Celá konštrukcia je očividná z obrázku. Stade vidieť, že skutočne SŜ = 3 · S1, kde 1 = SF je priemetom dĺžky rovnajúcej sa polomeru opísanej kružnice. Podstavný šesťuholník sme zostrojili pomocou kolmej afinity.Voľný paralelný obraz rotačného valca: Zobrazený rotačný valec je určený polomerom r = 3 a výškou v = 7. Pomocou kolmej afinity sme zostrojili aj dotyčnicu t, ktorá s príslušnou povrchovou priamkou určuje tangenciálnu rovinu obsahujúcu aj bod T.Voľný paralelný obraz kolmého osembokého ihlana: Pre daný kolmý osemboký ihlan platí v = 3r. Konštrukcia vpísaného osemuholníka sa urobí pomocou konštrukcie združených priemerov v danej elipse, ktorá je priemetom kružnice opísanej okolo podstavy. Touto elipsou je súčasne dané voľné paralelné premietanie.Voľný paralelný obraz rotačného kužeľa: Základom tohto konštrukčne náročného telesa je rotačný kruhový kužeľ. Voľné paralelné premietanie je dané elipsou, ktorá je priemetom kružnice podstavy. Pomocou nej sa dá zostrojiť presný obraz zobrazovaného telesa.Námet z praxe pre zostrojenie voľného paralelného obrazu zložených telies: Teraz už môžeme názorne zobrazovať vo voľnom paralelnom premietaní aj tieto telesá, pričom rozmery prvého z nich sa dajú vyčítať z jeho technického výkresu.Námet z praxe pre zostrojenie voľného paralelného priemetu zložených telies: Trochu viac práce dá zobrazenie týchto telies, pretože treba zobraziť viac kružníc.Voľný paralelný obraz guľovej plochy a kružníc na guľovej ploche: Ani guľová plocha nám nespôsobí veľa ťažkostí. Jej obrys je kružnica. Priemetom rovníka je elipsa, veľkosť jej hlavnej poloosi sa rovná veľkosti polomeru guľovej plochy. Pretože os guľovej plochy je kolmá na rovinu rovníka a jej priesečníky s guľovou plochou sú póly, budú sa ich priemety nachádzať na tzv. fokálnej kružnici, t.j. OF = OS = OJ excentricita rovníkovej elipsy /veľkosť priemetu úsečky o veľkosti r na kolmici k rovine rovníka/. Treba pripomenúť, že aj ohniská všetkých rovnobežkových elíps sa nachádzajú na tejto tzv. fokálnej kružnici.Námet z praxe - kružnice na guľovej ploche: Použitím fokálnej kružnice sme nielen zostrojili príslušné rovnobežkové elipsy, ale aj ich dotykové body s obrysom guľovej plochy, a to pomocou bodu V, ktorý je vrcholom tangenciálneho kužeľa, majúceho s danou guľovou plochou spoločnú túto rovnobežkovú kružnicu. Stred guľovej plochy, ohnisko uvažovanej rovnobežkovej kružnice a vrchol príslušného tangenciálneho kužeľa príslušnej rovnobežkovej kružnice v obraze určujú pravouhlý trojuholník s pravým uhlom pri spomínanom ohnisku! Ak si toto uvedomíme, nie je potom ťažko zostrojiť obrysové površky tangenciálneho kužeľa, ktoré sú súčasne dotyčnicami obrysu guľovej plochy a príslušnej rovnobežkovej kružnice /ktorej obrazom je elipsa/. Na obrázku sme zobrazili len príslušný detail.Voľný paralelný obraz rovinného rezu na kolmom šesťbokom hranole: Na konštrukciu obrazu rovinného rezu kolmého šesťbokého hranola sme použili afinný vzťah medzi uholníkom podstavy a rezovým uholníkom. Tu osou afinity je priesečnica roviny s rovinou rezu a pár afinne združených bodov /tým aj smer afinity/ je daný dvojicou bodov A, A′. Ďalšie je zrejmé z obrázku.Voľný paralelný obraz rovinného rezu na rotačnom kruhovom valci: Aj na zostrojenie rovinného rezu rotačného valca sme použili afinitu. Ak by sme chceli zostrojiť obraz celého hrotu telesa, museli by sme zostrojiť štyri rezové elipsy. Na obrázku sú iba dve. Ich stopy /osi afinity/ sú priamky ¹p, ²p a pár afinne združených bodov pre obidve rezové elipsy ¹e, ²e je ten istý daný bodmi O₀, O.Kolineárna príbuznosť medzi útvarmi v priestore: Pri zostrojovaní rovinných rezov na ihlanoch a kužeľoch s výhodou používame príbuznosť, ktorá sa vo všeobecnosti volá /perspektívna/ kolineácia. Pre našu potrebu stačí, keď si jej vlastnosti odvodíme z priestorových vzťahov tak, ako nám to ukazuje obrázok. 1. A′, A″; B′, B″; C′, C″ sú na priamkach, ktoré obsahujú aj bod S a nazývame ich kolineárne združené body; bod S sa volá stred kolineácie; 2. A′B′, A″B″; A′C′, A″C″; B′C′, B″C″ sú kolineárne združené priamky; 3. A′B′ · A″B″ = /3′ = 3″/; A′C′ · A″C″ = /2′ = 2″/; B′C′ · B″C″ = /1′ = 1″/ pretínajú sa v samodružných bodoch, ležiacich na tej istej priamke, ktorá sa volá os kolineácie; 4. A′B′C′ a A″B″C″ nazývame kolineárne združené útvary.Kolineárna príbuznosť medzi útvarmi v rovine: Pretože rovnobežným premietaním sa zachováva incidencia útvarov, dá sa z kolineácie medzi útvarmi v priestore odvodiť zachovanie kolineárnych vzťahov aj medzi priemetmi týchto útvarov do tejže roviny. V našom prípade ide o kolineáciu △ A′₁B′₁C′₁ a △ A″₁B″₁C″₁, ležiacich v rovine ρ, ktorá je určená osou kolineácie o₁, stredom kolineácie S₁ a párom kolineárne združených bodov A′₁, A″₁, ktoré nutne musia byť so stredom kolineácie S₁ v jednej priamke.Kolineárne združený útvar k pravidelnému päťuholníku a rovnostrannému trojuholníku: Zostrojovanie kolineárne združených útvarov obyčajne nespôsobuje ťažkosti, ak neustále dbáme, aby sme v tejto kolineácii bodu priradovali s ním kolineárne združený bod, priamke s ňou kolineárne združenú priamku, kolineárne združené body boli na priamkach obsahujúcich stred kolineácie S, kolineárne združené priamky sa pretínali v samodružných bodoch, t.j. v bodoch ležiacich na osi kolineácie. V prvom obrázku ide o kolineáciu pravidelného päťuholníka so stredom kolineácie v bode V, s osou kolineácie v priamke o a párom kolineárne združených bodov A₀A. V druhom obrázku je to analogické, avšak pre rovnostranný trojuholník.Kružnica a elipsa, kružnica a parabola v kolineácii: V ďalších dvoch obrázkoch ide o kolineáciu kružnice s príslušnou krivkou. V priestore podstatne ide o kolineárny vzťah medzi riadiacou kružnicou kužeľovej plochy s príslušnou rovinnou rezovou krivkou. Zvyčajne sa uvažuje o týchto troch prípadoch: A. Ak rovina rezu pretína všetky tvoriace priamky a nie je /nie je vrcholovou rovinou/ rovnobežná s rovinou riadiacej kružnice, tak rezová krivka je elipsa /kolineárne združená s riadiacou kružnicou/. Konštrukciu ukazuje prvý obrázok. B. Ak rovina rezu /nie je vrcholovou rovinou/ a je rovnobežná iba s jednou tvoriacou priamkou, tak rezová krivka je parabola /kolineárne združená s riadiacou kružnicou/. Konštrukciu ukazuje druhý obrázok.Kružnica a hyperbola v kolineácii: C. Ak rovina rezu /nie je vrcholová rovina/ a je rovnobežná s dvoma tvoriacimi priamkami, tak rezová krivka je hyperbola /kolineárne združená s riadiacou kružnicou/. Konštrukciu ukazuje tento obrázok. Poznámka: Tieto vzťahy platia aj pre obrazy rezov týchto telies.Voľný paralelný obraz rovinného rezu kolmého šesťbokého ihlana: Riešenie uskutočníme pomocou kolineárneho vzťahu uholníkom podstavy a rezovým uholníkom, pričom stred kolineácie je vrchol kužeľa, os kolineácie je priesečnica uholníka, podstavy s rovinou rezu a pár kolineárne združených bodov je daný bodmi A₀, A.Voľný paralelný obraz rovinného rezu rotačného kužeľa - hyperbolický rez: Zostrojenie obrazu kužeľového hrotu na štvorbokej tyči je iste náročné. Ide tu o rez kužeľa s rovinami rovnobežnými s osou kužeľa, t.j. rovnobežnými s jeho dvoma tvoriacimi priamkami, teda ide o hyperbolické rezy. Konštrukcia určujúcich prvkov dvoch rezových kriviek je zrejmá z obrázku. Bodkočiarkované priamky ¹a, ²a, označené šípkami, sú asymptoty rezovej hyperboly ¹h. Ostatné hyperboly by sa konštruovali podobným spôsobom. Na fotografiách v obrázku sú aj ďalšie telesá ako aplikácie na zostrojovanie rovinných rezov na rotačnom kuželi.Voľný paralelný obraz spojky potrubia a jej technické osvetlenie: Iste konštrukčne veľmi náročný je obraz spojky potrubia a jej technické osvetlenie. Je to ukážka, že použitím voľného paralelného /ortogonálneho/ premietania sa dajú veľmi názorne zobrazovať aj tak zložité predmety, aký tu vidíme. Na vyhotovenie jeho obrazu stačila jedna elipsa, ktorou bolo toto voľné paralelné premietanie už dané.Ťahadlo: Metóda voľného paralelného /ortogonálneho/ premietania je veľmi účinná pri názornom zobrazovaní. Je organickým dôsledkom ostatných ortogonálnych zobrazovacích metód, je ich organickým završením a v podstate, hoci si to neuvedomujeme, ju každý ovláda, kto absolvoval čo len kolmé premietanie na jednu priemetňu. Pri trocha pozornosti a osvojení si niektorých základných vedomostí z teórie prenikov by ste mohli pomerne ľahko zostrojiť obraz tohto ťahadla.׋›Základní zobrazovací metody VI. - Volné paralelní promítáníVýrobceDBratislavaRok1965Délka40 okénekAutor textuMalina ŠtefanPředlohaFYZKOznačení2300Další diafilmy výrobceBratislava, hlavní město SSR II. Rozvoj města po osvobození a perspektivy je dalšího rozvojeSlovenské národní povstání 1. Ilegální práce KSSŠtúr Ľudovít I.Princip televizního přijímače II.
